Thiên Tài Kỳ Dị Và Đột Phá Toán Học Của Thế Kỷ – Masha Gessen

Các con số làm mê hoặc tất cả chúng ta nhưng các nhà toán học có biệt tài làm cho chúng trở nên có ý nghĩa. Năm 2000, một nhóm các nhà toán học hàng đầu thế giới đã có cuộc họp ở Paris mà họ tin là vô cùng quan trọng. Họ muốn tận dụng dịp này để đánh giá một cách toàn diện lĩnh vực hoạt động của mình. Họ muốn thảo luận về vẻ đẹp tuyệt đối của toán học – một giá trị mà mọi người có mặt đều hiểu và tán thưởng. Họ muốn dành thời gian để tán tụng lẫn nhau, và quan trọng nhất là để ước mơ. Họ cùng nhau cố gắng hình dung về sự tao nhã, bản chất và tầm quan trọng của các thành tựu toán học trong tương lai.

Cuộc họp thiên niên kỷ này đã được triệu tập bởi Viện toán học Clay, một tổ chức phi lợi nhuận được một doanh nhân vùng Boston là Landon Clay và vợ ông là Lavinia sáng lập, nhằm mục đích đại chúng hóa các ý tưởng toán học và khuyến khích những nghiên cứu chuyên nghiệp trong lĩnh vực này. Sau hai năm thành lập, Viện đã có một văn phòng đẹp đẽ trong tòa nhà nằm ngay bên ngoài Quảng trường Harvard ở Cambridge, Massachusetts, và đã trao một vài giải thưởng nghiên cứu. Hiện nay, Viện có một kế hoạch đầy tham vọng đối với tương lai của toán học là “tập hợp lại những bài toán thách thức nhất của thế kỷ 20 mà chúng ta mong giải được chúng nhất”, theo lời Andrew Wiles, nhà lý thuyết số người Anh, người nổi tiếng là đã chinh phục được Định lý cuối cùng của Fermat. “Chúng ta không biết làm thế nào hoặc khi nào chúng sẽ được giải: có thể là năm năm mà cũng có thể hàng trăm năm. Nhưng chúng ta tin rằng nhờ giải được các bài toán này, bằng cách nào đó chúng ta sẽ mở ra những triển vọng hoàn toàn mới của những khám phá và cảnh quan của toán học”.

Như thể viết nên một câu chuyện cổ tích về toán học, Viện Clay đã đặt tên cho bảy bài toán – con số thần kỳ trong nhiều truyền thuyết dân gian – và đặt phần thưởng có giá trị hấp dẫn là một triệu đôla cho mỗi lời giải. Các ông hoàng đang trị vì toán học đã thuyết trình tóm tắt về các bài toán đó. Michael Francis Atiyah, một trong những nhà toán học có ảnh hưởng lớn nhất của thế kỷ trước, đã mở đầu bằng việc trình bày khái lược Giả thuyết Poincaré, phỏng đoán được Henri Poincaré đề xuất vào năm 1904. Đây là một bài toán kinh điển của topo học. “Nó đã được nhiều nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu mà vẫn chưa giải được”, Atiyah tuyên bố. “Và cũng đã từng có nhiều chứng minh sai. Nhiều người đã thử giải nhưng đều mắc sai lầm. Đôi khi họ tự phát hiện ra mình sai, đôi khi lại do bạn bè họ phát hiện”. Cử tọa bật cười, vì chắc chắn trong số họ đã có vài ba người từng mắc sai lầm khi chứng minh giả thuyết này.

Atiyah gợi ý rằng lời giải cho bài toán này rất có thể xuất phát từ vật lý. “Đây là một thứ đầu mối – một dạng gợi ý – mà giáo viên (người không giải được bài toán) nêu ra cho học sinh (người đang cố gắng tìm cách giải nó)”, ông đùa. Quả thật, một số thính giả thực sự đang nghiên cứu các bài toán mà họ hy vọng sẽ đưa toán học đến gần với việc chứng minh được Giả thuyết Poincaré. Nhưng không ai nghĩ là lời giải lại đang ở rất gần. Thực sự thì một số nhà toán học giấu giếm nỗi ám ảnh của mình khi họ nghiên cứu các bài toán nổi tiếng – giống như Wiles khi ông nghiên cứu Định lý cuối cùng Fermat – nhưng nhìn chung họ thường theo sát những nghiên cứu của nhau. Và mặc dù những thứ được giả định là lời giải của Giả thuyết Poincaré xuất hiện ít nhiều hằng năm, song bước đột phá lớn gần đây nhất cũng đã gần hai mươi năm. Vào năm 1982, Richard Hamilton, nhà toán học người Mỹ, đã đưa ra một chương trình chi tiết nhằm giải bài toán này. Tuy nhiên, ông phát hiện ra rằng quá khó theo đuổi chương trình này và cũng không có một ai khác đưa ra được một kế hoạch thay thế đáng tin cậy. Giảthiết Poincaré, cũng giống như các bài toán Thiên niên kỷ khác của Viện Clay, rất có thể sẽ chẳng bao giờ giải được.

Việc giải được bất kỳ bài toán nào trong những bài toán này sẽ chẳng thua kém gì một chiến công lừng lẫy. Mỗi bài toán phải nghiên cứu mất hàng thập kỷ, và cho đến lúc xuống mồ, nhiều nhà toán học vẫn thất bại trước bài toán mình đã vật lộn trong nhiều năm. Theo nhà toán học người Pháp Alain Connes, một người khổng lồ nữa trong toán học của thế kỷ 20, “Viện Toán học Clay thực sự muốn gửi đi một thông điệp rõ ràng: toán học có giá trị chủ yếu là bởi những bài toán vô cùng khó như vậy. Chúng giống như đỉnh Everest hay những đỉnh của dãy Himalaya trong toán học. Và việc lên được đỉnh là một điều vô cùng khó khăn – thậm chí có thể phải trả giá bằng chính mạng sống của mình. Nhưng quả thực một khi đã lên tới đỉnh, quang cảnh mở ra sẽ thật tuyệt vời”.

Dù không chắc chắn là sẽ có ai đó giải được một Bài toán Thiên niên kỷ trong tương lai gần, song Viện Clay vẫn đặt ra một quy trình rõ ràng cho việc trao giải thưởng. Quy tắc đề ra là lời giải của bài toán phải được đăng trên một tạp chí có phản biện, tất nhiên, đây là một tiêu chuẩn thông thường. Sau khi công bố, sẽ bắt đầu một khoảng thời gian chờ đợi là hai năm để cộng đồng toán học thế giới kiểm tra lời giải và đi đến nhất trí về tính chính xác và tác quyền. Sau đó, một hội đồng được chỉ định để đưa ra đề cử cuối cùng cho giải thưởng. Chỉ sau khi tất cả các công việc này được hoàn tất thì Viện mới trao một triệu đôla cho tác giả. Theo dự tính của Wiles thì sẽ phải mất ít nhất năm năm mới có được lời giải đầu tiên – giả định là có một bài toán nào đó thực sự được giải – nên quy trình này hoàn toàn không có gì là quá rườm rà cả.

Nhưng chỉ hai năm sau đó, vào tháng 11 năm 2002, một nhà toán học người Nga đã đăng tải trên Internet chứng minh của anh đối với Giả thuyết Poincaré. Anh không phải là người đầu tiên tuyên bố đã giải được bài toán Poincaré – anh thậm chí cũng không phải là người Nga duy nhất đăng tải trên Internet cái được cho là chứng minh cho giả thuyết này vào năm đó – nhưng chứng minh của anh hóa ra lại là đúng.

Và sau đó mọi việc đã không theo quy trình – cả quy trình của Viện Clay cũng như bất kỳ quy trình nào khác mà một nhà toán học cho là hợp lý. Grigory Perelman đã không công bố nghiên cứu của mình trên tạp chí khoa học có phản biện. Anh cũng không đồng ý hiệu đính hay thậm chí xem xét lại lý giải của những người khác về chứng minh của mình. Anh từ chối rất nhiều lời mời từ các trường đại học danh tiếng nhất thế giới. Anh cũng từ chối nhận Huy chương Fields, vinh dự cao nhất của toán học, được quyết định trao cho anh vào năm 2006. Và sau đó, về cơ bản, anh không chỉ ngưng giao tiếp với cộng đồng toán học thế giới mà còn với hầu hết các bạn bè của mình.

Hành xử kỳ lạ của Perelman đã thu hút sự chú ý đối với Giả thuyết Poincaré và chứng minh của nó, có lẽ đến mức chưa từng có trong lịch sử các câu chuyện toán học. Giá trị chưa từng có của giải thưởng (rõ ràng đang chờ đợi anh), cùng vụ tranh cãi đột ngột về đánh cắp ý tưởng (có hai nhà toán học Trung Quốc tuyên bố họ xứng đáng được nhận giải thưởng cho chứng minh Giả thuyết Poincaré của mình) cũng giúp làm tăng sự quan tâm của dư luận. Càng nhiều người nói về Perelman thì dường như anh càng thu mình lại; cuối cùng, ngay cả những người đã từng biết anh rất rõ cũng nói rằng anh đã “biến mất”, mặc dù anh vẫn sống trong một căn hộ ở St. Petersburg – là nhà của anh trong nhiều năm. Đôi khi ở đó anh cũng có nhấc điện thoại – nhưng chỉ để làm rõ là anh muốn cả thế giới cứ xem như anh không còn tồn tại nữa.

Khi bắt tay vào viết cuốn sách này, tôi muốn tìm câu trả lời cho ba câu hỏi: Tại sao Perelman lại có thể chứng minh được Giả thuyết Poincaré; tức là điều gì về mặt trí tuệ khiến anh tách biệt hẳn với tất cả những nhà toán học đã từng tìm cách chứng minh giả thuyết này trước đó? Và rồi tại sao anh lại chối bỏ toán học và, ở phạm vi rộng lớn hơn, chối bỏ cả thế giới? Liệu anh có từ chối nhận tiền thưởng Clay (biết rằng anh xứng đáng với giải thưởng và hoàn toàn chắc chắn có thể sử dụng số tiền đó)? Và nếu anh từ chối thì tại sao lại như vậy?

Cuốn sách này không được viết theo kiểu viết các cuốn tiểu sử khác. Tôi không phát triển nó từ các cuộc phỏng vấn Perelman. Thực tế, tôi chưa từng có cuộc trò chuyện nào với anh cả. Khi tôi bắt đầu dự án này, anh đã cắt đứt liên lạc với tất cả các nhà báo và hầu hết mọi người. Điều này làm công việc của tôi khó khăn hơn (tôi phải tưởng tượng về một người mà tôi chưa từng gặp mặt) nhưng cũng

lại thú vị hơn (nó như một cuộc điều tra). May mắn thay, hầu hết những người thân cận với anh và có liên quan đến câu chuyện Giả thuyết Poincaré đều đồng ý trò chuyện với tôi. Thực tế là có nhiều lúc tôi đã nghĩ việc này còn dễ dàng hơn là viết một cuốn sách về một đối tượng chịu hợp tác, vì tôi không nhất thiết phải trung thành với lời kể của chính Perelman và quan niệm của anh về bản thân mình – ngoại trừ việc phải cố gắng hình dung ra mọi thứ.